2.1 割线和平均变化率 Secant Line and Average Rate of Change
假设函数`y=f(x)`图像上有两点`(x_1,f(x_1))`和`(x_2,f(x_2))`，则过这两点的直线（割线）的斜率为`\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}`
其斜率也可以写成下图的形式：`\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta x}`
`\frac{\Delta y}{\Delta x}`就是函数`f(x)`在某点`(x,f(x))`处增量为`\Delta x`的平均变化率
图 2-1
此处可以联想到平均速度的概念：`\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}`（`\Delta x`是位移）
2.2 切线和瞬时变化率 Tangent Line and Instantaneous Rate of Change
当`\Delta x`越来越接近于0的时候，割线就越来越靠近过点`(x,f(x))`的切线
在这里我们姑且把（微小的）增量叫做`h`好了
用极限表示这条过`(x,f(x))`切线的斜率就是：`\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}`
这就是在某点`(x,f(x))`处的瞬时变化率
图 2-2
这个瞬时变化率还有另外一种表示形式（等价转换），如下图：
`\lim_{z\rightarrow x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}`（可以理解为点`Q`越来越接近点`P`，对于下图来说）
`h`还是那个微小的增量，即`z-x`
看到下图的`f^{'}(x)`，你可能还不知道那是什么，没关系，你马上就知道了（你就当它是切线的斜率或者瞬时变化率）
图 2-3
此处又可以联想到瞬时速度的概念：`v=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}`
2.3 导数 Derivative
对于`y=f(x)`，通过`(x,f(x))`的切线的斜率也可以是关于`x`的一个函数，这个函数叫做导函数，简称导数（所以它不是一个数），记作`f^{'}(x)`（现在你应该知道这是啥了）
我们说：对`f(x)`关于变量`x`求导得到函数`f^{'}(x)`
上一节的平均变化率的极限即是导数，我们表示为`f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}`（比较常用）
或者说是`f^{'}(x)=\lim_{z\rightarrow x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}`（虽然表达的一个意思，但是我们不太用这个）
如果这个极限存在，我们就说`f(x)`在`x`点可导；若不存在，即不可导
比如函数`y=|x|`在`x=0`处就是不可导的（在那里有个尖角）
这样我们又可以有左导数和右导数的概念，就像左极限和右极限一样
一个函数的导数（的记号）还有另一种表示形式（对于函数`y=f(x)`）
我们知道导数的定义是`\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}`，又可以把它写成`\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}`（见2.1开头，加个极限就是瞬时变化率）
于是我们可以用`dx`来代替`\Delta x`，`dy`来代替`\Delta y`，就变成了`\frac{dy}{dx}`
其中`dx`表示`x`中的十分微小的变化，`y`也类似
所以如果`y=f(x)`，那么可以用`\frac{dy}{dx}`（或者`\frac{d}{dx}f(x)`）代替`f^{'}(x)`，它俩是一个东西
如果函数是`x=u(t)`，那么它的导数就是`u^{'}(t)`或者`\frac{dx}{dt}`或者`\frac{d}{dt}u(t)`
这两种表示形式都有各自的好处，以后就知道了（你可别以为`f^{'}(x)`写的方便只需要加一个小撇就一直用它了）
2.4 可导性和连续性的关系 The Relationship between differentiability and continuity
对于一个函数，可导必连续，不可导必不连续，连续不一定可导
下面是证明：
图 2-4
2.5 求导 Derivation
不好意思概念讲了那么多，现在来点具体点的东西
举例子的时间到了
1.假设有一个常值函数`y=f(x)=C`（`C`是常数），我们来求它的导数
根据导数的定义`f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}`，代入`f(x)=C`以及`f(x+h)=C`
`f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{C-C}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}0=0`
也可以写作`\frac{dy}{dx}=0`（在`y=f(x)`的情况下）或者`\frac{d}{dx}(C)=0`
我们发现常值函数的导数为`0`，这很合理因为它是一条水平的直线，函数上任意一点切线的斜率都为`0`
所以如果`f(x)=1`的话，那么它的导数肯定就是`f^{'}(x)=0`
2.假设有一个一次函数`y=f(x)=kx+b`（`k`和`b`都是常数）
还是根据导数的定义来做（因为你第一次学到这里没有别的工具）`f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}`，代入`f(x)=kx+b`以及`f(x+h)=k(x+h)+b`
`f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(k(x+h)+b)-(kx+b)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{kh}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}k=k`
也可以写作`\frac{dy}{dx}=k`（在`y=f(x)`的情况下）或者`\frac{d}{dx}(kx+b)=k`
这也是很显而易见的，因为一次函数的图像就是一条倾斜的直线，函数上任意一点切线的斜率就是`k`
所以如果`f(x)=x`的话，那么它的导数肯定就是`f^{'}(x)=1`
3.再来看一下一个最简单的二次函数的导数`y=f(x)=x^2`
一样的：这次代入的是`f(x)=x^2`以及`f(x+h)=(x+h)^2`
`f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x`
也可以写作`\frac{dy}{dx}=2x`（在`y=f(x)`的情况下）或者`\frac{d}{dx}(x^2)=2x`
这个就没有那么显而易见了，我们待会来看张图，现在我还想再求一个函数的导数，这个函数就是`y=f(x)=\frac{1}{x}`
4.最简单的反比例函数：`y=f(x)=\frac{1}{x}`
很简单：我们代入`f(x)=\frac{1}{x}`和`f(x+h)=\frac{1}{x+h}`
`f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}-\frac{h}{hx(x+h)}=-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{x(x+h)}=-\frac{1}{x*x}=-\frac{1}{x^2}`
也可以写作`\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2}`（在`y=f(x)`的情况下）或者`\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}`
这个也不怎么显而易见，所以来看张图吧
诶，我突然发现了一个规律，你看我们之后再看图吧，好不好？
我先来列一张表，这样比较直观
| 原函数`f(x)` | 导数`f^{'}(x)` |
|---|---|
| `x^-1` | `-1*x^-2` |
| `x^0` | `0*x^-1` |
| `x^1` | `1*x^0` |
| `x^2` | `2*x^1` |
注意：其实`x^0`应该表示为`1`，为了看的更加直观，就不考虑这些了，因为这不会造成什么影响
相信你已经看到规律了：一个形如`f(x)=x^n`的函数的导数为`f^{'}(x)=nx^{n-1}`（`n\in Z`）
很遗憾的告诉你，这是个事实，如果你想看证明的话，我给你看；如果不想看，就跳过
图 2-5
并且这个指数不只适用于整数，它可以是任意实数，如下（极其重要）：
一个形如`f(x)=x^a`的函数（幂函数）的导数为`f^{'}(x)=ax^{a-1}`（`a\in R`）
这个你现在证明不了，但是学完这章就可以证明了，你可能想不到证明这个的方法，等学了AP微积分你就知道了
好了终于可以看图了！
举个例子，当`x=1`时，对于函数`f(x)=x^2`，我们有`f^{'}(x)=2x`，故`f(1)=1`且`f^{'}(x)=2`，所以我们看到图2-6（右）中函数在点`(1,1)`的切线的斜率为2
图 2-6
这样我们就可以求过函数在一个点的切线方程啦！
我们知道了切线的斜率`k`，又知道了点的坐标`(x_0,y_0)`，所以写切线方程首选就是点斜式呀！`y-y_0=k(x-x_0)`
e.g. 求函数`y=f(x)=x^2`图像在`x=1`处的切线方程
我们已经知道了点的坐标是`(1,1)`，切线的斜率是`k=f^{'}(1)=\frac{dy}{dx}|_{x=1}=2`（`|_{x=1}`就是当`x=1`的时候），所以切线方程就是：`y-1=2(x-1)`
现在轮到你来写出函数`y=f(x)=\frac{1}{x}`图像在`x=1`处的切线方程啦！（别想着偷懒直接照图写！）快试一试叭！
2.6 线性估算 Linear Approximation
有了切线方程，我们就可以来做一些函数值的估算了
假设我们一直一个函数`y=f(x)`和一个特殊值`a`
我们找出通过`y=f(x)`函数图像上点`(a,f(a))`的切线，其斜率为`f^{'}(a)`，则它的方程是：`y-f(a)=f^{'}(a)*(x-a)`
假设切线为`y=L(x)`，那么`L(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)`，这个切线函数被称为函数`y=f(x)`在`x=a`处的线性化，我们可以把`L(x)`作为`f(x)`的近似，变成`f(x)\approx L(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)`
当`x`等于`a`的时候，这个近似是完美的（但是没太大意义）；当`x`非常接近`a`的时候，这个近似是特别好的（要的就是这个）；而`x`非常远离`a`的时候，这个近似可能就会很离谱（也没意义）
学到后面我们可以知道这个误差（实际函数值与近似值之差）是有个取值范围的
图 2-7
是不是有点模糊？来看个例子吧
我们来用线性化估算一下`\sqrt{10}`
看看`10`离哪个平方数比较近，大家都知道是`9`
所以先假设我们有`f(x)=\sqrt{x}`和`a=9`（特殊值：因为`f(9)=\sqrt{9}=3`）
来求一下导数：`f^{'}(x)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}`
那么`f^{'}(9)=\frac{1}{6}`
所以`f(x)`的线性化为`L(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)=3+\frac{1}{6}(x-9)`
最后代入`x=10`发现`\sqrt{10}=f(10)\approx L(10)=\frac{19}{6}`
`\sqrt{10}`的线性近似值就这样算出来啦
大家可以自行检验这个近似值和计算器的结果有多大差别哦
自行练习：用线性化求`root[3]{25}`的近似值
2.7 导数的运算法则
1.函数的常数倍
一个函数的常数倍的导数等于这个常数乘以该函数的导数
假设有一个函数`u=f(x)`，我们就叫它`u`，那么`\frac{d}{dx}(Cu)=C\frac{du}{dx}`（`C`是常数）
或者可以说：假设`h(x)=Cf(x)`，那么`h^{'}(x)=Cf^{'}(x)`
比如我们已经知道了`\frac{d}{dx}(x^2)=2x`，那么就可以有`\frac{d}{dx}(5x^2)=5*2x=10x`和`\frac{d}{dx}(-x^2)=-1*2x=-2x`等等
2.函数的和与差
假设有两个函数`u`和`v`，那么`\frac{d}{dx}(u\pm v)=\frac{du}{dx}\pm \frac{dv}{dx}`
或者可以说：假设`h(x)=f(x)\pm g(x)`，那么`h^{'}(x)=f^{'}(x)\pm g^{'}(x)`
比如：`\frac{d}{dx}(3x^5-2x^2+4+\frac{5}{x})=3*5x^4-2*2x^1+4*0+5*(-\frac{1}{x^2})=15x^4-4x-\frac{5}{x^2}`
3.函数的积（乘积法则 Product Rule）
函数乘积的导数可不像前两个一样，它往往不会等于函数导数的乘积
注意了，这里千万不能记错
下面是乘积法则，请仔细看
假设有两个函数`u`和`v`，那么`\frac{d}{dx}(uv)=\frac{du}{dx}v+\frac{dv}{dx}u`（口诀：前导后不导`+`后导前不导）
或者可以说：假设`h(x)=f(x)g(x)`，那么`h^{'}(x)=f^{'}(x)g(x)+f(x)g^{'}(x)`
比如：求`y=(2x^4+3x-1)(5x^8-9x^3-x^2)`的导数
可以看作这是两个函数`u=2x^4+3x-1`和`v=5x^8-9x^3-x^2`的乘积，这样我们就可以用乘积法则了
| `u=2x^4+3x-1` | `v=5x^8-9x^3-x^2` |
| `\frac{du}{dx}=8x^3+3` | `\frac{dv}{dx}=40x^7-27x^2-2x` |
运用乘积法则，可以发现`\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(uv)=\frac{du}{dx}v+\frac{dv}{dx}u=(8x^3+3)(5x^8-9x^3-x^2)+(40x^7-27x^2-2x)(2x^4+3x-1)`
4.函数的商（商法则 Quotient Rule）
函数的商的导数也往往不等于函数导数的商！
下面是商法则，请仔细看
假设有两个函数`u`和`v`，那么`\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{\frac{du}{dx}v-\frac{dv}{dx}u}{v^2}`
或者可以说：假设`h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`，那么`h^{'}(x)=\frac{f^{'}(x)g(x)-f(x)g^{'}(x)}{(g(x))^2}`
比如：求`y=\frac{2x^4+3x-1}{5x^8-9x^3-x^2}`的导数
同样的，我们可以看作是两个函数`u=2x^4+3x-1`和`v=5x^8-9x^3-x^2`的商，这样我们就可以用商法则了
`\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{\frac{du}{dx}v-\frac{dv}{dx}u}{v^2}=\frac{(8x^3+3)(5x^8-9x^3-x^2)-(40x^7-27x^2-2x)(2x^4+3x-1)}{(5x^8-9x^3-x^2)^2}`
5.函数的复合（链式求导法则 Chain Rule）
如果`y`是`u`的函数，`u`是`x`的函数，那么`\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}`
或者可以说：假设`h(x)=f(g(x))`，那么`h^{'}(x)=f^{'}(g(x))g^{'}(x)`
你有可能会觉得这俩不是一个东西，但其实这是同等的
比如：求`y=(x^2+1)^99`的导数
要是你用乘积法则算的话就会十分的可笑，所以这时候就需要用到链式求导法则了
我们可以把它看成`y=u^99`以及`u=x^2+1`的复合函数
| `y=u^99` | `u=x^2+1` |
| `\frac{dy}{du}=99u^98` | `\frac{du}{dx}=2x` |
`\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}=99u^98*2x=198xu^98=198x(x^2+1)^98`
这样我们导数的运算法则就介绍完啦！你可能会有疑问：为什么不给我们看证明过程？那我告诉你：AP微积分里会给你推的，这里只要熟记结论即可！
2.8 隐函数求导 Implicit Differentiation
假设`y`是`x`的函数，那么`\frac{d}{dx}(x^2)`和`\frac{d}{dx}(y^2)`一样吗？
这两个显然是不一样的，第一个等于`2x`，那第二个呢？
我们可以根据链式求导法则来求`\frac{d}{dx}(y^2)`等于什么
我们令`u=y^2`，那么`\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy} \frac{dy}{dx}=2y \frac{dy}{dx}`
下面来举个例子
考虑一个方程`x^2+y^2=4`（这是一个圆心在原点、半径为`2`的圆），我们要求`\frac{dy}{dx}`，怎么做呢？
我们可以对这个方程两边进行隐函数求导
`\frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(4)`
`2x+2y\frac{dy}{dx}=0`
`\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}`
这说明在这个圆上的点`(x,y)`处的切线的斜率是`-\frac{x}{y}`，大家可以手动验证一下
2.9 反函数的导数
在讨论反函数的导数之前，我们得先判断一个函数是否有反函数
假设有一个函数，它的导数（在定义域内）总是正的，那么（想象一下它的图像）它一定是单调递增函数，这种情况下它在定义域内一定有反函数
假设有一个函数，它的导数（在定义域内）总是负的，那么（想象一下它的图像）它一定是单调递减函数，这种情况下它在定义域内一定有反函数
那如果在一点导数是`0`呢？那么函数在那一点的切线就是水平的（如果它在定义域内有反函数，那么这种情况只允许出现有限次）
这样我们可以总结出一个函数`f(x)`在定义域上（该函数在定义域上可导）有反函数的条件（满足任意一个即可）：
1.对于所有的在定义域上的`x`，`f^{'}(x)>0`；
2.对于所有的在定义域上的`x`，`f^{'}(x)<0`；
3.对于所有的在定义域上的`x`，`f^{'}(x)\geq 0`且对于有限个的`x`，`f^{'}(x)=0`；
4.对于所有的在定义域上的`x`，`f^{'}(x)\leq 0`且对于有限个的`x`，`f^{'}(x)=0`；
比如说：`f(x)=x^2(x\in R)`（`f^{'}(x)=2x`）在定义域上没有反函数，因为当`x>0`时，`f^{'}(x)>0`；当`x<0`时，`f^{'}(x)<0`；当`x=0`时，`f^{'}(x)=0`，不符合上面任意一条
另外一个例子是：`f(x)=x^3(x\in R)`（`f^{'}(x)=3x^2`）在定义域上有反函数，因为其导数除了在`x=0`时为`0`之外，其他情况都大于`0`，符合上述第三条（我们还可以知道这是单调递增函数）
下面我们就来求反函数的导数是什么
假设函数`f(x)`有反函数，我们叫他`y=f^{-1}(x)`，那么`f(y)=x`
对`f(y)=x`两边关于`x`作隐函数求导，`\frac{d}{dx}(f(y))=\frac{d}{dx}(x)`（左边需要用链式求导法则）
得到：`f^{'}(y)\frac{dy}{dx}=1\Rightarrow frac{dy}{dx}=\frac{1}{f^{'}(y)}`
这样我们就知道了反函数的导数：如果`y=f^{-1}(x)`，则`frac{dy}{dx}=\frac{1}{f^{'}(y)}=\frac{1}{f^{'}(f^{-1}(x))}`
e.g. 求`y=x^{\frac{1}{3}}`的导数
我们当然可以直接把它求出来，即是`\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3x^\frac{2}{3}}`
但是我想要验证一下这个求反函数的导数的方法
假设`f(x)=x^3`，我们知道它在定义域上有反函数，即`y=f^{-1}(x)=x^{\frac{1}{3}}`
那么`\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f^{'}(y)}=\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{3(x^{\frac{1}{3}})^2}=\frac{1}{3x^\frac{2}{3}}`
看到没，这方法管用吧！
2.10 三角函数的导数
我们现在已经知道了一个形如`f(x)=x^a`的函数的导数为`f^{'}(x)=ax^{a-1}`（`a\in R`）
现在让我们来看看三角函数的导数如何求
既然极限是导数的前提，那么我们就先来看一下三角函数的极限
不知道大家还记不记得（你必须记得），在上一章里面有个重要的极限`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1`
另外，根据余弦函数在定义域内的连续性，有个显而易见的极限：`\lim_{x\rightarrow 0}cos(x)=cos(0)=1`
有了这两个极限，我们就可以求一些其他的关于三角函数的极限了
e.g. 计算：`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}`
`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}\times \frac{1+cos(x)}{1+cos(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^2(x)}{x}\times \frac{1}{1+cos(x)}`
`=\lim_{x\rightarrow 0}sin(x)\times \frac{sin(x)}{x}\times \frac{1}{1+cos(x)}=0\times 1\times \frac{1}{1+1}=0`
这样我们就得到了：`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}=0`
记住这个极限，待会求三角函数的导数的时候会用到
练习：计算`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x^2}`和`\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^2+2x+5+sin(3000x^9)}{2x^2-1-cos(22x)}`
现在终于可以来求导了
别忘记这两个极限：`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1`和`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}=0`
以及导数的定义：`f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}`
我们先来求`f(x)=sin(x)`的导数
`f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x)}{h}`
`=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x)(cos(h)-1)+cos(x)sin(h)}{h}`
`=\lim_{h\rightarrow 0}(sin(x)(\frac{cos(h)-1}{h})+cos(x)(\frac{sin(h)}{h}))`
`=sin(x)\times 0+cos(x)\times 1=cos(x)`
所以`f(x)=sin(x)`的导数为`f^{'}(x)=cos(x)`或者说`\frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)`
接下来，大家来自行练习一下求函数`f(x)=cos(x)`的导数
如果你求解正确，你应该会看到`\frac{d}{dx}cos(x)=-sin(x)`（注意这里有一个负号）
现在我们有了`sin(x)`和`cos(x)`的导数，我们就可以用导数的运算法则来对`tan(x)`，`cot(x)`，`sec(x)`和`csc(x)`进行求导啦
以`tan(x)`为例，我们可以把`tan(x)`写成`\frac{sin(x)}{cos(x)}`并用商法则对其进行求导
`\frac{d}{dx}tan(x)=frac{d}{dx}(\frac{sin(x)}{cos(x)})=\frac{cos(x)cos(x)-(-sin(x))sin(x)}{cos^{2}(x)}=\frac{1}{cos^{2}(x)}=sec^{2}(x)`
剩下的三个三角函数的导数就让你自己来试试咯
没算错的话你会发现：
`\frac{d}{dx}cot(x)=-csc^{2}(x)`
`\frac{d}{dx}sec(x)=sec(x)tan(x)`
`\frac{d}{dx}csc(x)=-csc(x)cot(x)`
还记得反三角函数吗？如果我们要求反三角函数的导数，只需要将上一节反函数的导数与三角函数的导数结合起来即可
e.g. 求`y=arcsin(x)`的导数
`y=arcsin(x)\Rightarrow sin(y)=x(x\in [-1,1], y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])`（原函数）
`\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cos(y)}`
`\because sin^{2}(y)+cos^{2}(y)=1 and cos(y)>0`
`\therefore cos(y)=\sqrt{1-sin^{2}(y)}=\sqrt{1-x^2}`
`\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}`
这样我们就得到了：`\frac{d}{dx}arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(x\in (-1,1))`
同理，我们还可以知道（一定要自己算哦）：
`\frac{d}{dx}arccos(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(x\in (-1,1))`
`\frac{d}{dx}arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}(x\in R)`
2.11 指数函数和对数函数的导数
回忆一下上一章那个极其重要的极限：`e=\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n`
我们还可以表示为`e=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}(1+h)^{\frac{1}{h}}`
现在我们要计算`\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{x}{n})^n`（这里可以当`x`是个大于`0`的常数）
我们先设`h=\frac{x}{n}`，这样`n=\frac{x}{h}`，当`n\rightarrow \infty`时，`h\rightarrow 0^{+}`
`\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{x}{n})^n=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}(1+h)^{\frac{x}{h}}=\lim_{h\rightarrow 0^{+}}((1+h)^{\frac{1}{h}})^x=e^x`
对于`x<0`，也同样成立（那时当`n\rightarrow \infty`时，`h\rightarrow 0^{-}`，只需令`t=-h`就可以证明）
最后，我们得到`e^x=\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{x}{n})^n=\lim_{h\rightarrow 0}(1+xh)^{\frac{1}{h}}`
当`x=1`时，我们有`e=\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim_{h\rightarrow 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}`
接下来我们就可以来算指数函数和对数函数的导数啦！我们先从对数函数的导数算起
假设`f(x)=log_{a}(x)`
`f^{'}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{log_{a}(x+h)-log_{a}(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}log_{a}(\frac{x+h}{x})=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}log_{a}(1+\frac{1}{x}h)`
`=\lim_{h\rightarrow 0}log_{a}(1+\frac{1}{x}h)^{\frac{1}{h}}=log_{a}(e^{\frac{1}{x}})=\frac{1}{x}log_{a}(e)=\frac{1}{x} \frac{\ln(e)}{\ln(a)}=\frac{1}{x\ln(a)}`
这样我们就有：`\frac{d}{dx}log_{a}(x)=\frac{1}{x\ln(a)}`
特殊地，当`a=e`时，我们有`\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}`
我们知道`log_{a}(x)`与`a^x`互为反函数，所以我们可以用反函数的导数来求`a^x`的导数
假设有个函数`y=a^x`，那么就有`x=log_{a}(y)`
`\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{1}{y\ln(a)}}=y\ln(a)=a^x \ln(a)`
这样我们就有：`\frac{d}{dx}(a^x)=a^x \ln(a)`
特殊地，当`a=e`时，我们有`\frac{d}{dx}(e^x)=e^x`（这是相当好玩的，因为它的导数就等于自己！）
2.12 洛必达法则 L’Hospital’s Rule
上一章计算极限的时候跟你说过我要介绍一个特别好的方法，现在就是兑现承诺的时候啦！
如果`f(a)=g(a)=0`或者`\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\pm \infty and \lim_{x\rightarrow a}g(x)=\pm \infty`，那么`lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}`
第一个例子：求`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-sin(x)}{x^3}`
当`x=0`时，`x-sin(x)`和`x^3`都为`0`，这样我们就可以运用洛必达法则了
`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-sin(x)}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{3x^2}`
我们还可以再用洛必达法则（想想为啥）
于是就有：`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{6x}=\frac{1}{6}*1=\frac{1}{6}`
第二个例子：求`\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^3}{e^x}`
同样地，我们发现`\lim_{x\rightarrow \infty}(x^3)=\infty and \lim_{x\rightarrow \infty}(e^x)=\infty`，这才可以用洛必达法则
`\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^3}{e^x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3x^2}{e^x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{6x}{e^x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{6}{e^x}=0`
一些其他的极限形式也可以用洛必达法则，但是我们在这里不会提到
2.13 极值定理 Extreme Value Theorem(EVT)
先说一下临界点（Critical points）的概念：在`x=c`处的导数为`0`或者不存在，我们就称`x=c`为临界点
再说一下最值和极值的区别，以最大值为例（对于函数`y=f(x)`来说）：
如果当`x=a`时，在包含`a`的某一小段区间里，`f(x)`在`x=a`处取得最大值，我们称`f(a)`为极大值（Local Maximum）（如下图在`x=x_1`和`x=x_3`处），注意：极值的概念是局部的，如果`f(a)`是函数`f(x)`的一个极值，那只是就`a`附近的一个局部范围来说
如果当`x=a`时，`f(a)`是`y=f(x)`整个定义域上的最大值，那么我们就说`f(a)`是函数的最大值（Absolute Maximum）（如下图定义域为`(a,b)`的函数在`x=x_3`的位置）
最值必然也是极值，但极值不一定是最值
图 2-8
这样我们把临界点的概念与局部极值联系起来，就引出了极值定理：
假设函数`y=f(x)`定义在开区间`(a,b)`内，并且点`c`在`(a,b)`内；如果点`c`为函数的局部极值，那么点`c`一定为该函数的临界点
比如像上图，在`x=x_1`，`x=x_2`和`x=x_3`处都有局部极值，且这三个点的导数都为`0`
那如何分辨这是局部最大值还是局部最小值呢？我们也可以根据其导数来判断
如果经过（从左往右）该点，函数的导数的符号有负变正，那么该点为局部最小值（如上图`x=x_2`处）
如果经过（从左往右）该点，函数的导数的符号有正变负，那么该点为局部最大值（如上图`x=x_1`和`x=x_3`处）
除了用导数判断，我们还可以用二阶导（即导数的导数），但我不会在这里提及，因为在AP微积分里会详细讲
2.14 中值定理 Mean Value Theorem(MVT)
假设函数`y=f(x)`在闭区间`[a,b]`连续，在开区间`(a,b)`内可导，那么在开区间`(a,b)`内至少有一点`c`使得`f^{'}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}`
图 2-9