1.1 简单的定义
对于一个函数`y=f(x)`，如果当`x`不断接近`a`的同时（注意这里是指无限接近`a`，但始终不会到达`a`，这个很重要），`f(x)`不断接近`L`，那么我们就说`\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L`
或者说`\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=L`（其中`\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)`是左极限，`\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)`是右极限）
⚠`\lim_{x\rightarrow a}f(x)`不一定等于`f(a)`
⚠`f(a)`没有定义的时候，`\lim_{x\rightarrow a}f(x)`也可以存在
e.g. `\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{|x|}{x}=-1`和`\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{|x|}{x}=1`
图 1-1
1.2 极限不存在的情况
极限不存在可以用`DNE`（Does not exist）表示
按定义来讲，极限不存在有两种情况：1.左极限或右极限不存在（图1-2(b)和(c)） 2.左极限和右极限存在但是不相等（图1-2(a)）
下图是细分的三种情况（例子），图上的字要仔细阅读
图 1-2
1.3 渐近线 Asymptote
对于函数`y=f(x)`
在`x=a`有垂直渐近线：`\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)`和`\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)`中，至少有一个极限是`+\infty`或`-\infty`（后文用`\infty`将代替`+\infty`）
一个函数可以有无数条垂直渐近线，比如`f(x)=tan(x)`
e.g `\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty`和`\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty`（但是`\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x} DNE`）
所以`f(x)=\frac{1}{x}`有一条垂直渐近线`x=0`
在`y=L`处有一条左侧水平渐近线：`\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L`
在`y=L`处有一条右侧水平渐近线：`\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L`
一个函数最多两条水平渐近线，比如`f(x)=arctan(x)`
e.g. `\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0`
所以`f(x)=\frac{1}{x}`有一条水平渐近线`y=0`
1.4 真正的定义（严格但是不需要掌握）
`\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L`表示，对于任选的`\varepsilon>0`，可以选取`\delta>0`，使得：对于所有满足`0<|x-a|<\delta`的`x`，有`|f(x)-L|<\varepsilon`
1.5 极限运算法则
重要！尽管只有一张图
你会发现它和实数/函数的运算比较类似
图 1-3
1.6 连续性 Continuity
1.6.1 在一点连续
定义：如果`\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)`，那么`y=f(x)`在点`x=a`处连续（`\lim_{x\rightarrow a}f(x)`和`f(a)`都存在时）
1.6.2 在一个区间上连续
`f(x)`在`[a,b]`上连续的条件：
1.`f(x)`在`(a,b)`上每个点都连续
2.`f(x)`在点`x=a`处右连续（`\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)`且两者都存在）
3.`f(x)`在点`x=b`处左连续（`\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)=f(b)`且两者都存在）
一个例子：
图 1-4
1.7 有理函数的极限计算
根据极限的运算法则及连续性的定义，我们可以计算一些有理函数的极限
1. `x\rightarrow a`时的有理函数的极限
这里有个简单的例子，如图1-5所示
你会发现，这个函数在`x=1`处不连续。如果你把`1`代入，这个分式会变成`\frac{0}{0}`（不定式），这显然是不成立的。既然不连续怎么还会有极限呢？注意，取极限的过程是无限接近`1`又永远不等于`1`，这意味着可以将分式进行变形转化为在`x=1`处连续的函数从而根据连续函数的极限求得极限值。
图 1-5
为什么这里（`\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+x-2}{x^2-x}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+2}{x}`）可以直接上下同除以`(x-1)`？ 因为这是极限（注意是无限接近而永不相等）
另外还要注意：为什么`\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x+2}{x}`可以直接脱去极限符号变成`\frac{1+2}{1}=3`？ 这是因为函数`\frac{x+2}{x}`在`x=1`连续，连续函数在`x=a`处的极限就等于此处的函数值（熟练之后一看便知了）
2. `x\rightarrow \infty`时的有理函数的极限
假设有一个多项式（降幂排列）`p(x)=3x^3-1000x^2+5x-7`，其首项`p_{L}(x)=3x^3`，则`\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{p(x)}{p_{L}(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty}(1-\frac{1000}{3x}+\frac{5}{3x^2}-\frac{7}{3x^3})=1`
注意：`\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{C}{x^n}=0`（`C`是常数，`n>0`）
下面是个例子
图 1-6
此外，还有其他有理函数的极限和多项式的极限需要用其他方法进行计算
比如对于带有根式的函数（分式）求极限可能需要上下同乘共轭表达式（共轭根式）
在导数一章我们会介绍一种极限计算的好办法，即洛必达法则
1.8 三明治定理（夹逼定理） Squeeze Theorem
如果对于所有`a`附近的`x`都有`g(x)\leq f(x)\leq h(x)`，且`\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=L`，则`\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L`
图 1-7
e.g. 证明`\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{sin(x)}{x}=0`
`\because -1\leq sin(x)\leq 1`
`\Rightarrow -\frac{1}{x}\leq \frac{sin(x)}{x}\leq \frac{1}{x}`
`\because \lim_{x\rightarrow \infty}-\frac{1}{x}=0`和`\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0`
`\Rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{sin(x)}{x}=0`（三明治定理）
图 1-8
1.9 两个重要的极限
1. `\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1`（看图1-8）
下面是证明：
图 1-9
证明完了右极限，左极限只需要令`t=-x`就可以证明，双侧极限也就证明完毕了
2. `\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e`（这是`e`的一个定义）
1.10 介值定理 Intermediate Value Theorem(IVT)
在引入介值定理之前，我们来说一下零点定理：
`f(x)`在`[a,b]`上连续并且`f(a)<0`且`f(b)>0`（或`f(a)>0`且`f(b)<0`），那么在区间`(a,b)`上至少有一点`c`，使得`f(c)=0`
下面是真正的介值定理：
图 1-10
1.11 极限小结
在`x=a`时的右极限（这时`x\leq a`时`f(x)`的行为是无关紧要的）
图 1-11
在`x=a`时的左极限（这时`x\geq a`时`f(x)`的行为是无关紧要的）
图 1-12
在`x=a`时的双侧极限（这时`f(x)`的值是无关紧要的）
图 1-13
在`x\rightarrow \infty`时的极限
图 1-14
在`x\rightarrow -\infty`时的极限
图 1-15
1.12 一些极限练习
